2020-03-02 13:58:26 来源:范文大全收藏下载本文
例
1、用数列极限定义证明:limn20 nn27
n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn
2上面的系列式子要想成立,需要第一个等号和不等号(1)、(2)、(3)均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2;不等号(1)成立的条件是2
n4,即n>2;不等号(4)成立的条件是n[],故取N=max{7, 2
44[]}。这样当n>N时,有n>7,n[]。
4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式(1)、(2)、(3)能成立;因为n[],所以不等号(3)成立的条件是1
|不等式(4)能成立,因此当n>N时,上述系列不等式均成立,亦即当n>N时,
在这个例题中,大量使用了把一个数字放大为n或n20|。 n27n的方法,因此,对于具体的数,.......
2可把它放大为(k为大于零的常数)的形式 ......kn...............
n40 nn2n
1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n
22不等号(1)成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时,上面的不等式都成例
2、用数列极限定义证明:lim
立。
注:对于一个由若干项组成的代数式,可放大或缩小为这个代数式的一部分。如: ................................
n2n1n
2n2n1n
nnn22
n(n1)2n
1(1)n
例
3、已知an,证明数列an的极限是零。 2(n1)
(1)n1(1)1(2)
证明:0(设01),欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1
11解得:n1,由于上述式子中的等式和不等号(1)对于任意的正整n1
1数n都是成立的,因此取N[1],则当n>N时,不等号(2)成立,进而上述系列等式由不等式
和不等式均成立,所以当n>N时,|an0|。
在上面的证明中,设定01,而数列极限定义中的是任意的,为什么要这样设定?这样设定是否符合数列极限的定义?
在数列极限定义中,N是一个正整数,此题如若不设定01,则N[1]就有1
可能不是正整数,例如若=2,则此时N=-1,故为了符合数列极限的定义,先设定01,这样就能保证N是正整数了。
那么对于大于1的,是否能找到对应的N?能找到。按照上面已经证明的结论,当=0.5时,有对应的N1,当n>N1时,|an0|<0.5成立。因此,当n>N1时,对于任意的大于1的,下列式子成立:
|an0|<0.5<1<,亦即对于所有大于1的,我们都能找到与它相对应的N=N1。因此,在数列极限证明中,可限小。只要对于较小的能找到对应的N,则对于较大的...
就自然能找到对应的N。
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