极限2

非客观题

1.1函数

例1: 设f(x)x

x2,f2(x)f(f(x)),…., fn1(x)f(fn(x)).求证

x

nx2fn(x)

解题思路:fn(x)是归纳定义的,因此可以用归纳法尝试证明结论.

fk(x)x

kx2解: 用归纳法.设

则

x

fk1(x)f(fk(x))fk(x)

fk(x)2

x2kx2x21kx2x(k1)x2 f((x))1x并且(x)0,求(x)及其定义域.

解题思路: 这是一个复合函数问题.可以设u(x),从题目条件分析u和x的关系,找出例2: (88105) 设答案.

解: 令u(x),则

得到uf(x)e,f((x))f(u)e.于是由题设得到eu2u21x.解这个方程ln(1x).又因u(x)0,所以舍去负号,得到uln(1x),为了使得

ln(1x)(x0).开方运算有意义,必须且只须使x0.于是(x)

例3: 已知2f(x)f(1x)x2,求f(x)的表达式.

解题思路: 题目所给条件是关于f(x)和f(1x)的一个线性组合等式,若令u1x,则得到关于f(x)和f(1x)的另一个线性组合等式.由两个等式就可以求出f(x)的表达式.

解: 令u1x,得到

2f(1u)f(u)(1u)2

即

2f(1x)f(x)(1x)2

此式与题目所给条件联立,就解出

121f(x)x2x 333

例4:

(1) 设yf(x)(x)的图形关于直线xa对称,求证f(2ax)f(x);

(2) 如果yf(x)(x)的图形关于直线xa和xb(ab)都对称, 求证 f(x)是周期等于2(ba)的周期函数.

证:

(1) 如果yf(x)(x)的图形关于直线xa对称,则对于任意实数x有

f(ax)f(ax)

于是

f(x)f[a(ax)]f[a(ax)]f(2ax)

(2) 因为yf(x)(x)的图形关于直线xb对称,所以又有

f(2ax)f[b(bx2a)]f(b(bx2a)]f[x2(ba)]

由于上面已经得到f(x)f(2ax),所以有

f(x)f[x2(ba)]

因此

f(x)是周期等于2(ba)的周期函数.

1.2 极限概念和性质

注:在于极限有关的证明过程中,正确地运用极限的各种性质,可以使证明过程更加简明、清楚.以下两条性质在分析问题中经常运用:

1.数列{an}的极限是否存在,以及它的极限等于何值,与该数列的前有限项无关,任意增加、减少或者改变数列的前面有限项,既不影响数列的收敛性,也不影响数列的极限值;函数极限limf(x)是否存在以及limf(x)等于何值,只与函数f(x)在点x0附近的性

xx0

xx0

质有关,也就是说,对于任意正数,limf(x)是否存在以及limf(x)等于何值, 只与函数

xx0

xx0

f(x)在空心邻域(x0,x0)(x0,x0)内的取值有关,而与f(x)在这个空心邻域之外的取值无关.同样,对于任意正数N,函数极限limf(x)是否存在以及limf(x)等于

x

x

何值,只与函数f(x)在(N,)的取值有关.2.极限的(局部)保号性:

数列极限的保号性: 设limanA.(1) 若A0(0),则对于充分大的n,恒有an0

n

(an0).(即存在自然数N,使得对于所有的nN,都有an0(an0).(2) 若对于充分大的n,恒有an0,则A0.

函数极限的保号性:设limf(x)A

xx0

(1)若A0(0),则存在正数,使得当0|xx0|时, ,恒有f(x)0(0);(2) 若存在正数,使得当0|xx0|时, ,恒有f(x)0(0) ,则A0(A0).

例5: 利用极限的保号性证明以下结论:

(1) 设limanA1,求证存在常数q1,对于充分大的自然数n,恒有anq.

n

(2) 设limanA1,求证存在常数q1,对于充分大的自然数n,恒有anq.

n

(3) limanAlimbnB,求证对于充分大的自然数n,恒有anbn.

n

n

(4)设CanD(n1,2,).如果limanA,则CAD

n

解: (1) 取q

A1A1

,则q1.令xnan,则 22

A1A1A1

)A0

nn222

于是根据极限的保号性推出, 对于充分大的自然数n,恒有

limxnlim(an

xnan

即an

A1

0 2

A1

=q1.2

n

n

(2) 证明同(1).

(3) 令xnbnan,则limxnlim(bnan)BA0.极限的保号性证明,对于充

分大的自然数n,恒有xn0,即对于充分大的自然数n,恒有bnan.

(4) 令xnDan(n1,2,),则xn0(n1,2,).于是根据极限保序性推

出,DAlimxn0,即AD.同样可以证明AC.

n

注释: 极限的保号性(或者保序性)是极限所有性质中最重要、最常用的一条.例8中叙述的几个结论今后会经常用到 ,希望读者认真加以理解.

注释: 用极限定义直接证明某个数列极限limanA,或者函数极限limf(x)A这样

n

xx0

一类题目,主要目的是帮助初学者理解极限概念和性质,培养逻辑思维能力.但是今后不论是证明极限,还是求极限,一般情况下,应当尽量运用极限的各种运算法则(例如极限的四则运算、复合极限以及幂指函数极限等)和极限存在的准则(例如单调收敛定理和夹逼定理),以及若干已知的结论(例如两个重要极限和若干常见的极限).在今后解题时,除非是问题的特别要求,一般不要直接用极限的定义去进行证明.

经常遇到这样的问题,讨论某个数列极限或者函数极限是否存在.

判定极限存在的准则有夹逼定理,单调收敛定理以及柯西收敛准则等.其中前两者是数列收敛的充分条件.后者是充分必要条件.但是在许多问题中需要用论证极限不存在.一般来说,判定极限不存在要比判定极限存在更加困难.常用的、简单的方法主要有以下几种: 1.利用函数极限和单侧极限的关系:

limf(x)存在的充分必要条件是左极限limf(x)和右极限limf(x)都存在并且相

xa

xa

xa

等.

例6: 讨论下列极限是否存在: (1) limarctan

x0

1 2x

(2) lim

x1

112

11x

解:

(1) 当x0时,

11lim .所以22x02xx

1

,21x,所以lim(2) 当x1时,

x11x1

,21x0,所以lim当x1时,

x11x



112

1x

0;

112

11x

11x

1.

由于lim

x1

112

1x

lim

x1

112

1x

,因此lim

x1

112

不存在.

2.利用函数极限与数列极限的关系:

limf(x)A存在的充分必要条件是:对于任何一个收敛于a的点列{xn}(xna),都

xa

有limf(xn)A.

n

因此,如果存在两个收敛于a的点列{xn}(xna)和{tn}(tna),使得

n

limf(xn)limf(tn),则limf(x)不存在.

n

xa

例7: 说明下列极限不存在(1) limsin

x0



x

(2) lim(1

x

sinxx

) x

解:(1) 令xn



12,tn(n1,2,),则limxn0,limtn0.由于

nn

n4n1

n

limsinxn0limsintn1

n

所以limsin

x0



x

不存在.

(2) 令f(x)(1

sinxx1

),xnn,tn(n)(n1,2,),则xn, x2

tn.由于

0n

limf(xn)lim(1)1,limf(tn)lim(1nnnnn

于是limf(xn)limf(tn).因此lim(1

n

n

x

11

(2n)

)

1(2n)

e

sinxx

)不存在.x

3.利用收敛性与有界性的关系:

(1) 如果数列极限liman存在,则数列{an}有界;

n

(2) 如果函数极限limf(x)存在,则函数f(x)在点a局部有界,即存在正数,使得

xa

f(x)在(a,a)(a,a)有界.

例8: 说明下列极限不存在(1)limxsinx

x

(2) lim[n(1)(n1)]

n

n

解:

(1) 由于(2n

111

)sin(2n)(2n)(n),所以对于任意222

正数X,函数xsinx在(X,)无界,所以limxsinx不存在.

x

(2) 因为数列n(1)

n

(n1)无界,所以lim[n(1)n(n1)]不存在.

n

4.利用数列和其子列的关系:

若limanA,则{an}任何一个子列都收敛于A

n

例9: 说明极限lim(1)

n

n

n1

不存在.n

解: 记an

(1)n

n

lima2n

n1

,则 n

2n12n11lim1 , lima2n1lim()1 n2nnn2n1

n

n

于是该数列的偶数子列和奇数子列有不同的极限,因而lim(1)

n1

不存在.n

习题课2—函数极限

作业2数列极限

§2函数极限的性质

数列的极限2(学生)

极限

09高考极限励志演讲2

2函数极限的性质解读

第2讲数列极限及其性质

函数的极限教案2解读[推荐]

极限总结

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